フレーゲの論理学は何が凄かったのか【ざっくり解説】

2022年7月5日2026年2月9日

アリストテレスから2000年以上、論理学はほとんど同じ形のまま使われ続けてきました。

その停滞を一気に終わらせたのが、19世紀末に現れたフレーゲです。

彼は論理を「思考の訓練」から「厳密な形式言語」へと変え、数学の基礎づけという前例のない計画に挑みました。

以下、フレーゲの革命がどのようにして20世紀の哲学と論理学を始動させたのかを解説します。

1. ① フレーゲ以前の論理学は、何ができて何ができなかったのか
2. ② 最大の革命：量化・関数・変項を導入した
3. ③ 数学を論理に還元する野心（ロジシズム）
4. ④ 意味論の革命：意味（Sinn）と指示（Bedeutung）
5. ⑤ 挫折：ラッセルのパラドックス
6. 論理哲学論考の「論理」はフレーゲの論理学
7. フレーゲ入門におすすめの本

① フレーゲ以前の論理学は、何ができて何ができなかったのか

1. 論理学＝アリストテレス論理という状況

古代ギリシア以来、19世紀半ばまでの論理学は、基本的に次の枠組みでした。

命題は 主語（S）―述語（P） の形
「すべてのSはPである」
「あるSはPである」

いわゆる：

A命題：すべてのSはP
E命題：いかなるSもPでない
I命題：あるSはP
O命題：あるSはPでない

これを組み合わせたものが三段論法です。

すべての人間は死ぬ
ソクラテスは人間である
ゆえに、ソクラテスは死ぬ

この形式は、

日常的推論
倫理学・形而上学の議論
には十分役に立ちました。

2. しかし、この形式には「構造的な限界」があった

限界①：主語―述語しか扱えない

アリストテレス論理では、すべての命題が

「SはPである」

に還元されます。

しかし数学や科学では、重要なのは：

関係（relation）
多項関係（二項・三項…）

例：

「xはyより大きい」
「aはbとcの間にある」
「xはyを愛している」

これらは
👉 主語と述語だけでは表現できない

アリストテレス論理は、関係の論理を持たなかったのです。

限界②：量化の構造が見えない

たとえば数学でよく出てくる文：

任意の自然数xに対して、
ある自然数yが存在して、
yはxより大きい。

これを自然言語で書くと分かりますが、重要なのは、

「すべてのx」
「あるy」
その順序

ところが三段論法では、

「すべて」
「ある」

は命題の表面にしか現れません。

👉量化が命題の内部構造として表現できない

これを後にフレーゲは「多重量化の問題」として意識します。

限界③：数学的証明をそのまま書けない

たとえば、次のような初等的な数学的事実。

0 ≠ 1
∀x (x + 0 = x)

これをアリストテレス論理で書こうとすると、

「0は1ではない」
「すべてのxについて、x+0はxである」

という文章の羅列にしかならない。

重要なのは、

推論規則が明示されない
何が仮定で、何が結論かが形式的に追えない

👉証明を機械的にチェックできない

これは「厳密でない」のではなく、
そもそもその目的のために作られていないのです。

3. その結果、起きていたこと

数学の基礎づけは「論理の外」にあった

19世紀初頭まで、数学の基礎は、

直観（カント）
心理的明証性
図形的把握

に依存していました。

つまり、

数学は成功している
しかし「なぜ正しいのか」は説明できない

論理学はそれを支える道具になれていなかった。

論理学の位置づけ

この時代の論理学は、

哲学教育の一科目
思考訓練の学問
修辞学や弁証術に近い役割

であって、

数学の基礎言語
科学の形式的基盤

ではなかった。

4. 「止まっていた」とはどういう意味か

重要なのは、

論理学者が無能だったわけではない
アリストテレス論理は完成度が高すぎた

そのため、

「これ以上、何を改良するのか」が見えなかった
論理の役割が限定されたまま固定された

👉問題が見えていなかった

5. ここにフレーゲが「異常な角度」から登場

フレーゲは哲学者ではなく、数学者でした。

彼の出発点は単純です。

数学の証明を、
一切の直観に頼らず、
純粋な推論として書けないか？

この問いを立てた瞬間、

主語―述語論理は壊れる
三段論法は役に立たない
量化・関数・変項が不可欠になる

👉論理そのものを作り直すしかなくなった

ここで初めて、

論理＝思考訓練
から
論理＝形式言語・基礎理論

へと役割が変わります。

6. 小まとめ

フレーゲ以前：

論理学は洗練されていたが、用途が狭かった
数学を支える力を持っていなかった
「数学の基礎としての論理」という発想自体がなかった

だからこそフレーゲは、

論理学を一段下に降ろし、
数学をその上に建てようとした

この逆転が、20世紀のすべてを始めます。

② 最大の革命：量化・関数・変項を導入した

――『概念記法（Begriffsschrift, 1879）』の中身

1. 何が「発明」だったのか（単なる改良ではない）

重要なのは、フレーゲは

三段論法を洗練させた
表記を少し便利にした

のではありません。

👉 論理の「文法」そのものを作り替えた

これが決定的です。

2. 量化（∀, ∃）——「すべて」「ある」を命題の内部に入れた

フレーゲ以前

「すべてのSはPである」
「あるSはPである」

これは文全体のタイプでした。

つまり：

「すべて」「ある」は
→ 命題の外側に貼られたラベル

フレーゲ以後

フレーゲはこう考えました。

「すべて」や「ある」は、
命題の構造の一部であるべきだ

そこで、

∀x（任意のxについて）
∃x（あるxが存在して）

を、変項と結びつけて扱います。

例：

∀x (Human(x) → Mortal(x))

ここで重要なのは：

x がどこまで効いているか
量化のスコープ（範囲）

が完全に明示されている点です。

👉 これにより初めて
「量化が入れ子になる文」
（＝数学で必須）が扱えるようになりました。

これがフレーゲ自身が「多重量化の問題」と呼んだ核心です。

3. 変項（variable）——「空いた場所」を明示した

変項の意味は、実は直観的でない

x は「未知の数」ではありません。
フレーゲにとって x は、

値が入りうる場所（空所）

です。

Human(x)

これは

命題ではない
真偽値を持たない

👉 関数的表現

x に値が入って初めて

Human(Socrates)

が命題になります。

ここで起きた革命

命題
関数
引数

が明確に区別された。

これ以前：

文は「塊」だった
内部構造が見えなかった

これ以後：

文は組み立てられた構造物になる。

4. 関数と引数 —— 主語・述語を破壊する

アリストテレス論理では、

ソクラテス（主語）
は
人間である（述語）

しかしフレーゲはこれを拒否します。

Human(Socrates)

ここでは、

Human は関数
Socrates は引数

👉 非対称性が消える

これはなぜ重要か。

関係を自然に書けるようになる

例：

Loves(x, y)
x > y
Between(x, y, z)

アリストテレス論理では不可能だった、

二項関係
三項関係
数学的関係

が、そのまま論理の中に入る。

👉 数学の言語と論理の言語が一致し始める

5. 命題の内部構造の分析 —— 「意味の原子論」

フレーゲ以後、命題は：

原子命題
論理結合（→, ∧, ¬ など）
量化

の組み合わせとして扱われます。

つまり、

命題は分析可能である
思考は構造を持つ

という前提が確定した。

これは後に、

論理原子論
分析哲学
形式意味論

へ直結します。

6. なぜ「逃げ場がない地平」なのか

ここで重要なのは、

この論理は「一つの理論」ではない
標準言語を作ってしまった

という点です。

この論理で書けないなら

何が言えないのか
なぜ書けないのか

を説明しなければならない。

これが、

ラッセル
ウィトゲンシュタイン
ゲーデル
チューリング

全員に課された前提条件になります。

③ 数学を論理に還元する野心（ロジシズム）

1. フレーゲの問題意識

フレーゲの問いは単純です。

なぜ 2 + 2 = 4 は必然的に正しいのか？

心理的確信でも、
経験でも、
直観でもダメだ。

👉 論理的必然性で説明したい

2. 数を「もの」だと考えると失敗する

当時の選択肢：

数＝心的表象（心理主義）
数＝集合（素朴集合論）
数＝直観の形式（カント）

フレーゲはすべて拒否。

理由：

主観に依存する
数学の客観性を説明できない

3. 数の定義：概念の成立条件

フレーゲの定義（簡略）：

数 n とは、
ある概念の下に
ちょうど n 個の対象が落ちること

例：

「月の数＝1」
「自然数で2以下の素数の数＝1」

ここで：

数は独立した「物」ではない
概念について語られるもの

👉 数＝二階概念

これは当時、ほぼ理解不能でした。

4. フレーゲの画期性

数学を心理学から切断
数学を形而上学から切断
数学を論理に結びつけた

👉 数は構造的位置として理解される

これは後の：

構造主義数学
現代基礎論

の原型です。

④ 意味論の革命：意味（Sinn）と指示（Bedeutung）

1. なぜ同一性文は情報的なのか

a = a
a = b

論理的には同じ対象。

なのに：

前者は自明
後者は発見的

なぜか？

2. フレーゲの解決

指示：対象そのもの
意味：与えられ方（認識の仕方）

「明けの明星」「宵の明星」

指示：金星
意味：異なる

👉 同一性文が意味の違いを知らせる文になる。

3. 影響の大きさ

この区別がなければ：

命題内容
信念報告
意味論
指示理論

は崩壊します。

実際、ラッセル以降の哲学は：

フレーゲの意味概念を
採用するか、修正するか、捨てるか

の三択しかありません。

⑤ 挫折：ラッセルのパラドックス

1. 何が起きたか

フレーゲは：

概念 ↔ 対象
概念の外延 ↔ 集合

を強く結びつけた。

しかし：

自分自身を要素として含まない集合の集合

が定義できてしまう。

👉 矛盾発生。

2. フレーゲの態度が重要

彼は：

言い訳しなかった
ごまかさなかった
体系を撤回した

そして明確に言います：

私の体系は崩壊した

👉 だが、問題は完全に可視化された

3. この失敗が生んだもの

型理論（ラッセル）
公理的集合論（ツェルメロ＝フレンケル）
メタ論理
不完全性定理（ゲーデル）

すべて、フレーゲの地点からしか始まらない。

総括

フレーゲは：

成功によって基礎を作り
失敗によって限界を示した

だからこそ彼は：

20世紀哲学と論理学の始点

なのです。

論理哲学論考の「論理」はフレーゲの論理学

リンク

ウィトゲンシュタインの代表作といえば『論理哲学論考』。

降って湧いたかのような天才による降って湧いたかのような著作ですが、哲学史的な地盤のうえに位置づけることができます。この著作にも、それが書かれた文脈があるんですね。

実は、フレーゲに始まる論理学革命がそれです。『論考』の「論理」は、フレーゲの論理学のことを言っているんです。

鬼界彰夫は『ウィトゲンシュタインはこう考えた』（講談社現代新書）で次のように言っています。

彼は、フレーゲ（そしてラッセル）によって体系化された新しい論理学が一体いかなる意味を持っているのか、それが証明する論理の諸定理は何を意味しているのか、それは何についてどのようなことを物語っているのか、を問うたのである。ウィトゲンシュタインは「論理とは何か」という問いを、フレーゲの概念記法に基いて確立されたばかりの新しい論理学に即して考えたのであり、『論考』の「論理」とは、何よりフレーゲの論理学なのである。

（鬼界彰夫『ウィトゲンシュタインはこう考えた』）

実際、『論考』に登場する独特な記号や用語は、だいたいがフレーゲの論理学から引っ張ってきたものです。「論理形式」とか「対象」とか「名」とかのタームもすべてフレーゲ由来。

フレーゲの野望は人間の思考を計算化することでした。人間の推論をすべて論理記号に置き換えることで、その思考全体をそろばんの計算のようなものとして表現しなおすことが狙いです。